☆ ln(2)

Pour tout entier naturel \(n\) , on pose \(I_{n}={\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}}{1+x}\mbox{d}x}\) .

1. Montrer que \(\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}I_{n}=0\) .

2. a. Pour tout entier naturel \(k\)  non nul, calculer \(I_{k-1}+I_k\) .
    b. En déduire que \(\displaystyle\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim} \sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}=\ln2\) .